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¿Cómo factorizar ecuaciones sin terminar peleando con los números?

¿Cómo factorizar ecuaciones sin terminar peleando con los números?

Última actualización 27 de Junio del 2022Tiempo de lectura: 7 min.

Andrea Flores

¿Sabías que si aprendes cómo factorizar expresiones algebraicas puedes ahorrarte muchos dolores de cabeza? Si estás siguiendo una carrera con matemáticas, no basta con conocer a la perfección cuáles son los signos matemáticos, también es importante saber cómo emplearlos en diversos escenarios. 

Para que puedas resolver cualquier problema numérico sin ninguna dificultad, hoy te explicaremos cómo factorizar ecuaciones de diversos tipos siguiendo un proceso fácil y rápido. Después de leer este artículo, dejarás de sentir miedo por las matemáticas. 

Antes de empezar, queremos recalcar que no necesitas tener grandes conocimientos en matemáticas para entender cómo factorizar expresiones algebraicas, solo debes prestar mucha atención a cada uno de los pasos que describiremos. 

¡Continuemos! 

¿Cómo factorizar un número? 

Empecemos con el procedimiento más básico. Para aprender cómo factorizar un número sin ninguna expresión algebraica, el diccionario de matemáticas de Superprof establece que es necesario descomponerlo entre sus divisores primos hasta obtener el número 1 como cociente. 

 

Este proceso se puede llevar a cabo de la siguiente manera: 

  1. Escribe el número que quieres factorizar en una hoja. 
  2. Al lado, dibuja una línea vertical. 
  3. En el costado derecho, debes colocar los factores primos o divisores exactos del número. 
  4. En el costado izquierdo, escribe el resultado de la división hasta que este sea 1. 

proceso para factorizar un numero
Fuente: Superprof

Bien, ahora que ya sabes cómo factorizar un número, debes aprender cómo expresar el resultado. En primer lugar, debes definir cuáles son los factores primos y cuántas veces se ha repetido cada uno. 

En este caso, solo han intervenido los números 2 y 3; 4 y 3 veces respectivamente. Por lo tanto, ya que el resultado se debe plantear como una multiplicación de factores, los divisores serán la base y el número de veces repetidas serán las potencias.

Aquí te mostramos un ejemplo: 

432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 2⁴.3³

Nada del otro mundo, ¿no crees? En el siguiente apartado, aprenderás cómo factorizar ecuaciones más complejas.

¿Cómo factorizar por factor común?

En esta oportunidad, te explicaremos cómo factorizar un trinomio por factor común. Este método consiste en encontrar el máximo común divisor entre los diferentes términos que tiene una ecuación.

Para que puedas entender cómo factorizar por factor común una expresión algebraica de forma sencilla, utilizaremos el siguiente caso como ejemplo:

12x + 18y - 24

1. Separa los términos

Para aplicar el método del factor común, lo primero que tienes que hacer es separar los diferentes términos del problema y calcular el máximo común divisor —el mayor número que divide a los valores de la ecuación sin dejar residuo—.

Observa lo que se realizó para el problema planteado:

12 = 1; 2; 3; 4; 6; 12

18 = 1; 2; 3; 6; 9; 18

24 = 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

2. Identifica el máximo común divisor

Como podrás notar en el ejemplo visto, el máximo común divisor de 12, 18 y 24 es el número 6. Si bien los números 1, 2 y 3 también se repiten, recuerda que tienes que identificar el valor que sea mayor. 

3. Divide por factor común

Finalmente, para realizar la factorización, debes dividir cada uno de los términos del problema entre el factor común. 

Veamos el siguiente ejemplo:

12x + 18y - 24

M.C.D. = 6

6(2x) + 6(3y) - 6(4)

Luego, debido a que has dividido cada valor entre 6, debes simplificar el resultado así: 

6(2x + 3y - 4)

Ahora bien, ¿por qué realizamos esto? De acuerdo al portal CK-12, “un polinomio está completamente factorado cuando lo factoramos lo más que se pueda”, es decir, cuando ha sido simplificado a su totalidad. Entonces, siempre que tengas factores repetidos, debes evaluar la posibilidad de reducirlos a su mínima expresión. 

¡Listo! Hasta aquí has aprendido cómo factorizar un trinomio por factor común. A pesar de que la resolución puede ser más complicada o extensa en función a la expresión algebraica, lo importante es elaborar cada paso con cuidado. Así, aseguramos el resultado correcto. 

¿Necesitas más ayuda en el área de matemáticas? Este formato para hacer regla de tres simple en Excel te será muy útil. 

como factorizar por factor comúnFuente: Canva

¿Cómo factorizar por diferencia de cuadrados? 

De acuerdo con el blog de Udemy, cuando nos encontramos frente a un caso en donde la ecuación incluye sólo dos términos, podemos aplicar el método FOIL para realizar el proceso de factorización. 

Para entender cómo factorizar por diferencia de cuadrados con el método FOIL, resolvamos el siguiente ejemplo:

(x - 4) (x + 4)

1. Aplica el método FOIL

Primero, debemos explicar en qué consiste este método de factorización:

F: esta letra significa “firsts”, que quiere decir “primeros”. 

Se debe multiplicar el primer término del primer paréntesis, con el primer término del segundo paréntesis. 

En el caso del problema planteado, habría que multiplicar x por x. El resultado es x². 

O: esta letra significa “outers”, que quiere decir “externos”. 

Aquí se debe multiplicar el primer término del primer paréntesis, con el segundo término del segundo paréntesis. 

En este caso, se tendría que multiplicar x por 4, lo que resulta 4x. 

I: esta letra significa “inners”, que quiere decir “internos”

En esta parte se debe multiplicar el segundo término del primer paréntesis con el primer término del segundo paréntesis. 

Con respecto al problema anterior, se tendría que multiplicar -4 por x. Esto daría como resultado -4x. 

L: esta letra significa “lasts”, que quiere decir “últimos”

Aquí se debe multiplicar el último término del primer paréntesis con el último término del segundo paréntesis. 

Esto quiere decir que, para el ejemplo anterior, se debe multiplicar -4 por 4. Finalmente, se obtiene como resultado -16. 

 

2. Formula la nueva ecuación

Luego de aplicar el método FOIL, con los resultados obtenidos formaremos una nueva ecuación. 

En base al problema anterior, se obtuvo lo siguiente:

x² + 4x - 4x - 16 

Debido a que el 4x y el -4x se eliminan, porque dan 0 como resultado, este sería el resultado final: 

x²  - 16

Eso es todo. Ya sabes cómo factorizar por diferencia de cuadrados. Ahora es momento de conocer cómo factorizar trinomios y polinomios en los siguientes apartados. 

¡Sigue leyendo para convertirte en un experto! 

Cómo factorizar expresiones cuadráticasFuente: Canva

¿Cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto?

El proceso para aprender cómo factorizar un trinomio guarda cierta similitud con el de las expresiones cuadráticas, el cual te explicamos líneas arriba. 

Para poder entenderlo mejor, trabajaremos sobre el siguiente ejemplo: 

x² + 6x + 5

1. Encuentra el máximo común divisor

Al igual que ocurre con el método del factor común, se debe identificar el máximo común divisor (MCD) de los diferentes factores para saber cuáles se usarán dentro del paréntesis. 

Debido a que el término medio es 5, se deben encontrar factores que sumados den 6, es decir, 5 y 1 (por ser 5 número primo).

(x + 5) (x + 1)

2. Verifica tu respuesta con el método FOIL

Para estar seguro de que tu proceso de factorización ha sido realizado correctamente, puedes aplicar el método FOIL. 

(x + 5) (x + 1)

F: x.x = x² 

O: x.1 = x

I: 5.x = 5x

L: 5.1 = 5

Luego, tenemos lo siguiente: 

(x + 5) (x + 1) = x² + x + 5x + 5 

Ahora, es momento de sumar los valores: 

= x² + 6x + 5

Bien, si el resultado final coincide con el problema del inicio, puedes decir que ahora ya sabes cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto. 

Qué es factorizarFuente: Canva

¿Cómo factorizar por el método de la factorización completa?

Se dice que un polinomio está completamente factorizado cuando ya no puede factorizarse más. Este proceso se da cuando el problema en cuestión requiere pasos adicionales y se deben combinar las diferentes técnicas de factorización previamente vistas, como el método del factor común y el método FOIL.  

Para aprender cómo factorizar este tipo de ecuaciones, resolveremos el siguiente problema: 

6x² - 30x + 36

1. Identifica el máximo común divisor

Al igual que ocurre con el método del factor común, se debe buscar el máximo común divisor de, los números 6, 30 y 36. 

6 = 1; 2; 3; 6

30 = 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

36 = 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36

MCD (6, 30, 36) = 6

2. Factoriza el trinomio en dos binomios

El siguiente paso es factorizar un trinomio en dos binomios. En este caso, debemos emplear dos números que multiplicados den 6 y que al sumarlos se obtenga -5, los cuales vendrían a ser -2 y -3. 

El resultado sería el siguiente: 

6(x² - 5x + 6)

= 6(x - 2)(x - 3) 

3. Verifica tu respuesta aplicando el método FOIL

Para estar seguro de que tu factorización ha sido realizada correctamente, puedes aplicar el método FOIL que te enseñamos anteriormente. Recuerda que, si al final obtienes el trinomio original, significa que lograste factorizar la ecuación correctamente. 

(x - 2)(x - 3) 

F: x.x = x²

O: x.-3 = -3x

I: -2.x = -2x

L: -2.-3 = 6

Ahora, agrupa los factores obtenidos y reduce más la ecuación si es posible. 

x² - 3x - 2x + 6

La expresión algebraica final es la siguiente:

x² - 5x + 6

4. Verifica tu respuesta multiplicando el factor común

Al igual como aplicaste el método FOIL, también puedes revisar tu proceso de factorización multiplicando el máximo común divisor por el trinomio que obtuviste anteriormente. 

Teniendo en cuenta que el factor común del ejemplo visto es 6, tendrías que realizar el siguiente procedimiento:

6(x² - 5x + 6) = 6x² - 30x + 36

¡Listo! Como podrás notar, el resultado obtenido coincide perfectamente con el polinomio inicial. Si luego de revisar tu factorización siempre obtienes el problema original, eso quiere decir que ya sabes cómo factorizar expresiones algebraicas a la perfección. 

Método de la factorización completaFuente: Canva

Hasta aquí llega el artículo de hoy. Siguiendo los pasos de esta guía, aprenderás cómo factorizar cualquier tipo de expresión algebraica. Recuerda que es muy importante verificar cada una de tus respuestas para saber que lograste dominar este tema. 

A pesar de que el álgebra y las matemáticas en general pueden ser un poco complicadas, es importante ser constantes y practicar a menudo ejercicios como los que hemos planteado en este artículo. Además, tener a la mano alguna de estas aplicaciones para aprender matemáticas te será muy útil. 

Ahora bien, si además de aprender cómo factorizar quieres descubrir más sobre las diferentes funciones matemáticas para potenciar tu desempeño laboral, únete al curso online de Excel para no financieros. De acuerdo a Alejandro Castro, docente de este curso: 

“Aprender a usar hojas de cálculo es muy práctico para nuestro día a día, ya que puede ayudarnos a realizar operaciones matemáticas que tardaríamos horas haciéndolas a mano”.

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¡Mucha suerte! 

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